Paper XIII. Logika

   Logika matematika merupakan salah satu materi pelajaran matematika yang merupakan gabungan dari ilmu logika dan ilmu matematika. Logika berasal dari bahasa yunani kuno yaitu logos, logos dapat diartikan sebagai hasil pertimbangan akal atau pikiran yang dinyatakan lewat kata atau bahasa. Sedangkan jika diartikan secara sistematis, logika dapat dianalisis berdasarkan nilai-nilai kebenaran.
  Logika matematika akan memberikan landasan tentang bagaimana cara mengambil kesimpulan. Hal paling penting yang akan kalian dapatkan dengan mempelajari logika matematika adalah kemampuan dalam mengambil dan menentukan kesimpulan mana yang benar atau salah.

1. PERNYATAAN 

   Pernyataan adalah kalimat yang hanya benar saja atau salah saja, tetapi tidak dapat sekaligus benar dan salah. Setiap pernyataan adalah kalimat, tetapi tidak semua kalimat merupakan merupakan pernyataan. perhatikan kalimat-kalimat berikut:
    • Tangkaplah orang itu!
    • Berapa umurmu sekarang?
  Kalimat-kalimat diatas tidak dapat menerangkan sesuatu (bukan kalimat deklaratif), sehingga kalimat-kalimat itu bukan pernyataan. Kalimat yang dapat digolongkan pernyataan adalah kalimat-kalimat yang menerangkan sesuatu (disebut kalimat deklaratif). Namum perlu diingat bahwa tidak semua kalimat deklaratif itu merupakan pernyataan. Perhatikan kalimat-kalimat deklaratif berikut ini.
    • Menara itu tinggi
    • Nasi soto enak
    Kalimat-kalimat  diatas dapat benar saja atau salah saja, tetapi bersifat relatif. Karena sebuah kalimat tidak dapat ditentukan sebagai pernyataan apabila kita tidak bisa menentukan kebenaran atau kesalahan dan bersifat relatif.  Dan kalimat-kalimat tersebut bukan pernyataan.
   Dalam logika matematika terdapat dua jenis pernyataan, yaitu pernyataan tertutup dan pernyataan terbuka. Pernyataan tertutup adalah kalimat pernyataan yang sudah bisa dipastikan nilai kebenarannya (benar atau salah). Sedangkan pernyataan terbuka adalah kalimat yang memuat peubah/variabel, sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah). Sebagai contoh, perhatikan beberapa contoh kalimat berikut.
i) 2x + 5 = 17ii) y – 3 < 4iii) Itu adalah benda cairiv) Gula putih rasanya manis
v) 20 : 4 = 5vi) 17 + 9 = 16
   Pada pernyataan i), ii), iii) dan iv) adalah kalimat-kaliamat yang harus dibuktikan terlebih dahulu. Dengan begitu, kalimat tersebut merupakan kalimat-kalimat yang tidak dapat dinyatakan benar atau salah sebelum ditetapkan nilai x, y, itu dan gula pasir. Kalimat-kalimat yang bercirikan seperti itu dinamakan kalimat terbuka, sedangkan x, y dan itu disebut peubah atau variabel. Pada pernytaan v) dan vi) merupakan pernyataan tertutup karena memiliki nilai kebenaran yang pasti (bernilai benar).
   Perhatikan kalimat terbuka “2x + 5 = 17”. Misalkan semesta pembicaraannya adalah himpunan bilangan real R. Nilai x ∈ R pada himpunan kalimat terbuka “2x + 5 = 17” dapat diganti sehingga kalimat terbuka itu menjadi sebuah pernyataan. Nilai kebenaran (benar atau salah) pernyataan yang diperoleh bergantung pada nilai x yang digantikan (disubtitusikan).
    • jika x diganti 4, diperoleh “2(4) + 5 = 17”, meruupakan pernyataan salah
    • jika x diganti , diperoleh “2(6) + 5 = 17” , meruupakan pernyataan benar
   Nilai pengganti x = 6 mengubah kalimat terbuka “2x + 5 = 17” menjadi pernyataan yang benar. Nilai x = 6 disebut penyelesaian dari kalimat itu. Himpunan yang anggota-anggotanya merupakan semua penyelesaian dari kalimat terbuka disebut himpunan penyelesaian.


2. NEGASI ATAU INGKARAN

   Dari sebuah pernyataan, dapat dibentuk pernyataan baru dengan membutuhkan kata tidak benar didepan pernyataan semula atau bila memungkinkan dengan menyisipkan kata tidak atau bukan dalam pernyataan semula. Pernyataan baru yang diperoleh dengan cara seperti itu desebut negasi atau ingkaran. 
   Jika p adalah pernyataan yang diketahui, maka ingkaran atau negasi dari p dapat ditulis dengan memakai lambang ~p (dibaca tidak benar atau bukan). Nilai kebenaran dari ingkaran dari sebuah pernyataan dapat ditentukan melalui pengamatan pada contoh berikut ini.
Contoh:
Tentutukan ingkaran dari setiap pernyataan berikut.a) q = adalah bilangan primab) s = adalah faktor dari 13
Jawab:
a) Ingkaran dari q adalah bilangan prima
~q = tidak benar 7 adalah bilangan prima, atau~q = 7 bukan bilangan prima
b) Ingkaran dari s: 3 adalah faktor dari 13~s = tidak benar 3 adalah faktor dari 13, atau~s = 3 bukan faktor dari 13
Hubungan dari kebenaran antara ingkaran sebuah pernyataan dengan pernyataan semula dapat ditentukan sebagai berikut.
    • Jika p adalah pernyataan yang bernilai benar, maka ~p bernilai salah
    • Jika p adalah pernyataan yang bernilai salah, maka ~p bernilai benar
Ungkapan tersebut dapat disajikan dengan menggunakan tabel yang disebut sebagai tabel kebenaran.perhatikan tabel berikut.
negasi
Hubungan Antara Ingkaran Pernyataan dengan Komlemen Himpunan
Jika P merupakan penyelesaian kalimat terbuka p(x) dalam semesta S, p merupakan pernyataan yang terbentuk dengan mengganti x ∈ S, maka himpunan komplemen dari P (ditulis P′) merupakan penyelesaian kalimat terbuka pada ~p(x) dalam semesta S yang sama.
Ketentuan tersebut dapat dituliskan dengan memakai lambang himpunan sebagai berikiut.
p  = { x | p(x), p benar jika x ∈ Pp′ = { x | ~p(x), ~p benar jika x ∈ P′

3. KONJUNGSI
   Konjungsi yaitu pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q yang dihubungkan dengan kata hubung “dan” atau disimbolkan dengan “^”.Pernyataan konjungsi hanya memiliki nilai benar jika kedua pernyataan di dalamnya bernilai benar. Jika salah satu pernyataan bernilai salah, maka pernyataan konjungsi juga bernilai salah.
   Konjungsi pernyataan p dan pernyataan q dapat ditulis dengan lambang sebagai berikut:p ∧ q → dibaca : p dan q
Contoh:p = Dewi anak yang rajinq = Dewi anak yang pintarp∧q = Dewi anak yang rajin pintar
   Konjungsi dari pernyataan p dan q bernilai benar, apabila komponen–komponen pembentukannya bernilai benar. Sebaliknya bernilai salah, apabila salah satu komponen baik p atau q bernilai salah atau kedua-duanya.
p ∧ q benar, jika p benar dan q benar
p ∧ q salah, jika salah satu p atau q salah
   Berdasarkan definisi diatas, tabel kebenaran konjungsi p ∧ q dapat ditunjukkan seperti pada tabel berikut.
2
   Dari tabel di atas dapat kita ketahui bahwa pernyataan konjungsi akan bernilai benar apabila p itu benar dan q jugabenar. Jika demikian berarti salah.


4. DISJUNGSI

Disjungsi adalah pernyatan majemuk yang dihubungkan dengan kata “atau” yang disimbolkan dengan “∨” . Disjungsi merupakan kebalikan dari konjungsi. Pernyataan disjungsi hanya akan bernilai salah jika kedua pernyataan yang terdapat didalamnya bernilai salah. Jika salah satu pernyataan bernilai benar, maka pernyataan disjungsi juga bernilai benar. Disjungsi dibedakan menjadi dua macam yaitu disjungsi inklusif dan disjungsi eksklusif.
051. Disjungsi inklusif, adalah jika p dan q merupakan dua buah per-nyataan maka “p ∨ q”  bernilai benar (B), jika p dan q keduanya bernilai benar, atau salah satu  bernilai salah, sebaliknya  ” p ∨ q” bernilai salah (S) jika keduanya bernilai salah.

06
2. Disjungsi Eksklusif , adalah jika p dan q merupakan dua buah pernyataan maka “p ∨ q”  bernilai benar (B) jika salahsatu bernilai salah (S) atau salah satu bernilai (B), sebaliknya “p ∨ q” bernilai salah (S) jika keduanya bernilai benar (B) atau keduanya bernilai salah (S).

Perhatikan Contoh Soal berikut ini:
  1. Diketahui:
    p: Andi mempunyai anak    q : Andi menjadi ayahDitanya : p V qJawab: p: Andi mempunyai anakq : Andi menjadi ayahp V q: Andi mempunyai anak atau menjadi ayah
  2. Diketahui:
    p: Siswa MAN Bayah memenangkan     piala olimpiade matematika    q: Siswa MAN Bayah menjadi juaraDitanya: p V q dan buatlah Buatlah tabel  kebenarannya
    Jawab:p : Siswa MAN bayah memenangkan piala olimpiade matematikaq : Siswa MAN bayah menjadi juarap V q: Siswa MAN bayah memenangkan piala olimpiade matematika atau menjadi juara
    Tabel kebenaranny    a
5

 

5. IMPLIKASI

   Implikasi atau pernyataan bersyarat/kondisional adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua buah pernyataan p dan q dalam bentuk jika p maka q. Bagian “jika p” dinamakan alasan atau sebab dan bagian “maka q” dinamakan kesimpulan atau akibat. Implikasi “jika p maka q” dapat ditulis dengan lambang sebagai berikut:
p ⇒ q
Dalam berbagai penerapan, implikasi p ⇒ q dapat dibaca:
(i) p hanya jika q(ii) p jika q(iii) p syarat cukup bagi q(iv) p syarat perlu bagi q
Nilai kebenaran implikasi p ⇒ q dapat ditentukan dengan menggunakan definisi berikut.
p ⇒ q dinyatakan salah, jika p benar dan q salah
Dalam kemungkinan yang lainnya p ⇒ q dinyatakan benar. Perhatikan tabel berikut ini.
01


6. BIIMPLIKASI

   Pernyatan p dan pernyatan q dapat dirangkai dengan menggunakan kata hunung “jika dan hanya jika” sehingga diperoleh pernyataan baru yang berbentuk ” p jika dan hanya jika q “. Biimplikasi ” p jika dan hanya jika q ” dapat ditulis dengan lambang:
p  q
Dalam beberapa penerapan, biimplikasi p  q dapat juga dibaca sebagai berikut:
    • jika p maka q dan jika q maka p
    • p syarat perlu dan cukup bagi q
    • q syarat perlu dan cukup bagi p
Tabel Kebenaran biimplilikasi

02


7. EKUIVALENSI PERNYATAAN MAJEMUK

  Ekuivalensi pernyataan majemuk yaitu persesuaian yang bisa diterapkan dalam konsep-taan majemuk yang telah dijelaskan diatas, dengan metode ini kita dapat mengetahui negasi dari konjungsi, disjungsi, implikasi dan juga biimplikasi.
   Ekuivalensi dari pernyataan-pernyataan majemuk ini sangat penting. Kita harus tahu bentuk negasi dari konjungsi, negasi dari disjungsi dan lain sebagainya dalam menyelesaikan berbagai bentuk pernyataan yang nantinya akan muncul. Jadi kita harus hafal bentuk euivalensi pernyataan-pernyataan majemuk disamping. Maka kita akan lebih mudah dalam menyelesaikan berbagai tipe soal yang nantinya akan kita temui. Alangkah baiknya kita hafal ekuivalensi pernyataan-pernyataan disamping.
04

8. PENARIKAN KESIMPULAN

   Kesimpulan dapat dilakukan dari beberapa pernyataan yang diketahui nilai kebenarnya yang disebut premis. Kemudian dengan menggunakan prinsip-prinsip yang ada diperoleh pernyataan yang baru yang disebut kesimpulan/konklusi yang diturunkan dari premis yang ada. Penarikan kesimpulan seperti itu sering disebut dengan argumentasi. Suatu argumentasi dikatakan sah Jika premis-premisnya benar maka konklusinya juga benar. Terdapat 3 metode dalam penarikan kesimpulan, yaitu : Modus ponens, Modus Tolens, dan Silogisme.
Perhatikan Contoh Berikut.
1. Modus ponens
premis 1 : p →q
premis 2 : p ( modus ponens)
Kesimpulan: q
Arti Modus Ponens adalah “jika diketahui p → q dan p, maka bisa ditarik kesimpulan q”.
Sebagai contoh :
premis 1 : Jika paman datang ke desa adik akan merasa senang
premis 2 : Paman tidak datang
Kesimpulan: Adik tidak merasa senang
2. Modus Tollens
premis 1 : p →q
premis 2 : ~q ( modus tollens)
Kesimpulan: ~p
Modus Tollens berarti “jika diketahu p → q dan ~q, maka bisa ditarik kesimpulan ~p”.
Sebagai contoh :
premis 1 : Jika hari hujan, maka aku memakai payung
premis 2 : Aku memakai payung
Kesimpulan : Hari hujan
3. Silogisme
premis 1 : p→q
premis 2 : q → r ( silogisme)
Kesimpulan: p →r
Silogisme berarti “jika diketahu p → q dan q→r, maka bisa ditarik kesimpulan p→r”.
Sebagai contoh :
Premis 1 : Jika harga BBM naik, maka harga bahan pokok naik.
Premis 2 : Jika harga bahan pokok naik maka semua orang tidak senang.Kesimpulan: Jika harga BBM naik, maka semua orang tidak senang

Sumber :

Komentar

Posting Komentar